曲率計算器
逐步計算曲率
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求$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle$$$的曲率。
解答
求$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$的導數：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle$$$（步驟詳見導數計算器）。
求$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$的模長：$$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10}$$$（步驟請參見模長計算器）。
求$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$的導數：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$（步驟詳見導數計算器）。
求叉積：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle$$$（步驟請參閱 叉積計算器）。
求$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$的模長：$$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10}$$$（步驟請參見模長計算器）。
最後，曲率為 $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$$。
答案
曲率為 $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A。