$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$ 的臨界點、極值與鞍點

找出並分類$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$的臨界點。

第一步是求出所有一階偏導數：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

接下來，解聯立方程組 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ 或 $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$。

該方程組有以下實數解：$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$。

現在，讓我們嘗試將其分類。

求所有二階偏導數：

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

定義表達式 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}$$$。

由於 $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ 小於 $$$0$$$，可判定 $$$\left(0, 0\right)$$$ 為鞍點。

相對極大值

無相對極大值。

相對極小值

沒有相對極小值。

鞍點

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A