將 $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ 轉換為直角座標

將 $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ 轉換為直角座標。

套用公式 $$$\cos{\left(3 \alpha \right)} = \cos^{3}{\left(\alpha \right)} - 3 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}$$$，令 $$$\alpha = \theta$$$：$$$16 r = - 3 \sin^{2}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} + \cos^{3}{\left(\theta \right)}$$$。

由$$$x = r \cos{\left(\theta \right)}$$$與$$$y = r \sin{\left(\theta \right)}$$$，可得$$$\cos{\left(\theta \right)} = \frac{x}{r}$$$、$$$\sin{\left(\theta \right)} = \frac{y}{r}$$$、$$$\tan{\left(\theta \right)} = \frac{y}{x}$$$與$$$\cot{\left(\theta \right)} = \frac{x}{y}$$$。

輸入變為$$$16 r = \frac{x^{3}}{r^{3}} - \frac{3 x y^{2}}{r^{3}}$$$。

化簡：現在輸入的形式為 $$$16 r^{4} - x^{3} + 3 x y^{2} = 0$$$。

在直角座標中，$$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$$ 且 $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}$$$。

因此，輸入可改寫為 $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$。

$$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$A 在直角座標中為 $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$A。