$$$- t^{2} + 2 z^{20}$$$ 對 $$$t$$$ 的積分

求$$$\int \left(- t^{2} + 2 z^{20}\right)\, dt$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(- t^{2} + 2 z^{20}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{t^{2} d t} + \int{2 z^{20} d t}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$\int{2 z^{20} d t} - {\color{red}{\int{t^{2} d t}}}=\int{2 z^{20} d t} - {\color{red}{\frac{t^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\int{2 z^{20} d t} - {\color{red}{\left(\frac{t^{3}}{3}\right)}}$$

配合 $$$c=2 z^{20}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dt = c t$$$：

$$- \frac{t^{3}}{3} + {\color{red}{\int{2 z^{20} d t}}} = - \frac{t^{3}}{3} + {\color{red}{\left(2 t z^{20}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(- t^{2} + 2 z^{20}\right)d t} = - \frac{t^{3}}{3} + 2 t z^{20}$$

化簡：

$$\int{\left(- t^{2} + 2 z^{20}\right)d t} = \frac{t \left(- t^{2} + 6 z^{20}\right)}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- t^{2} + 2 z^{20}\right)d t} = \frac{t \left(- t^{2} + 6 z^{20}\right)}{3}+C$$

$$$\int \left(- t^{2} + 2 z^{20}\right)\, dt = \frac{t \left(- t^{2} + 6 z^{20}\right)}{3} + C$$$A