$$$x^{7} e^{- x^{8}}$$$ 的積分

求$$$\int x^{7} e^{- x^{8}}\, dx$$$。

令 $$$u=- x^{8}$$$。

則 $$$du=\left(- x^{8}\right)^{\prime }dx = - 8 x^{7} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x^{7} dx = - \frac{du}{8}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{8}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{8}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{8}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{8}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{8} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{8}$$

回顧一下 $$$u=- x^{8}$$$：

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{8} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x^{8}\right)}}}}{8}$$

因此，

$$\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x} = - \frac{e^{- x^{8}}}{8}$$

加上積分常數：

$$\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x} = - \frac{e^{- x^{8}}}{8}+C$$

$$$\int x^{7} e^{- x^{8}}\, dx = - \frac{e^{- x^{8}}}{8} + C$$$A