$$$x \cos{\left(\pi n x \right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int x \cos{\left(\pi n x \right)}\, dx$$$。

對於積分 $$$\int{x \cos{\left(\pi n x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(\pi n x \right)} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(\pi n x \right)} d x}=\frac{\sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n}$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$${\color{red}{\int{x \cos{\left(\pi n x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \frac{\sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n}-\int{\frac{\sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{\frac{\sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} d x} + \frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{\pi n}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi n x \right)}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} d x}}} + \frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} = - {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(\pi n x \right)} d x}}{\pi n}}} + \frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n}$$

令 $$$u=\pi n x$$$。

則 $$$du=\left(\pi n x\right)^{\prime }dx = \pi n dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{\pi n}$$$。

因此，

$$\frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(\pi n x \right)} d x}}}}{\pi n} = \frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}}{\pi n}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{\pi n}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}}{\pi n} = \frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} - \frac{{\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi n}}}}{\pi n}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{\pi^{2} n^{2}} = \frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{\pi^{2} n^{2}}$$

回顧一下 $$$u=\pi n x$$$：

$$\frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{\pi^{2} n^{2}} = \frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} + \frac{\cos{\left({\color{red}{\pi n x}} \right)}}{\pi^{2} n^{2}}$$

因此，

$$\int{x \cos{\left(\pi n x \right)} d x} = \frac{x \sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} + \frac{\cos{\left(\pi n x \right)}}{\pi^{2} n^{2}}$$

化簡：

$$\int{x \cos{\left(\pi n x \right)} d x} = \frac{\pi n x \sin{\left(\pi n x \right)} + \cos{\left(\pi n x \right)}}{\pi^{2} n^{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{x \cos{\left(\pi n x \right)} d x} = \frac{\pi n x \sin{\left(\pi n x \right)} + \cos{\left(\pi n x \right)}}{\pi^{2} n^{2}}+C$$

$$$\int x \cos{\left(\pi n x \right)}\, dx = \frac{\pi n x \sin{\left(\pi n x \right)} + \cos{\left(\pi n x \right)}}{\pi^{2} n^{2}} + C$$$A