$$$w^{2} \ln\left(w\right)$$$ 的積分

求$$$\int w^{2} \ln\left(w\right)\, dw$$$。

對於積分 $$$\int{w^{2} \ln{\left(w \right)} d w}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(w \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=w^{2} dw$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(w \right)}\right)^{\prime }dw=\frac{dw}{w}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{w^{2} d w}=\frac{w^{3}}{3}$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{w^{2} \ln{\left(w \right)} d w}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(w \right)} \cdot \frac{w^{3}}{3}-\int{\frac{w^{3}}{3} \cdot \frac{1}{w} d w}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{w^{3} \ln{\left(w \right)}}{3} - \int{\frac{w^{2}}{3} d w}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(w \right)} = w^{2}$$$：

$$\frac{w^{3} \ln{\left(w \right)}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{w^{2}}{3} d w}}} = \frac{w^{3} \ln{\left(w \right)}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{\int{w^{2} d w}}{3}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int w^{n}\, dw = \frac{w^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$\frac{w^{3} \ln{\left(w \right)}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{w^{2} d w}}}}{3}=\frac{w^{3} \ln{\left(w \right)}}{3} - \frac{{\color{red}{\frac{w^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{3}=\frac{w^{3} \ln{\left(w \right)}}{3} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{w^{3}}{3}\right)}}}{3}$$

因此，

$$\int{w^{2} \ln{\left(w \right)} d w} = \frac{w^{3} \ln{\left(w \right)}}{3} - \frac{w^{3}}{9}$$

化簡：

$$\int{w^{2} \ln{\left(w \right)} d w} = \frac{w^{3} \left(3 \ln{\left(w \right)} - 1\right)}{9}$$

加上積分常數：

$$\int{w^{2} \ln{\left(w \right)} d w} = \frac{w^{3} \left(3 \ln{\left(w \right)} - 1\right)}{9}+C$$

$$$\int w^{2} \ln\left(w\right)\, dw = \frac{w^{3} \left(3 \ln\left(w\right) - 1\right)}{9} + C$$$A