$$$13 \pi h r^{2} v$$$ 對 $$$v$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int 13 \pi h r^{2} v\, dv$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=13 \pi h r^{2}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = v$$$：
$${\color{red}{\int{13 \pi h r^{2} v d v}}} = {\color{red}{\left(13 \pi h r^{2} \int{v d v}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$13 \pi h r^{2} {\color{red}{\int{v d v}}}=13 \pi h r^{2} {\color{red}{\frac{v^{1 + 1}}{1 + 1}}}=13 \pi h r^{2} {\color{red}{\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}}$$
因此，
$$\int{13 \pi h r^{2} v d v} = \frac{13 \pi h r^{2} v^{2}}{2}$$
加上積分常數：
$$\int{13 \pi h r^{2} v d v} = \frac{13 \pi h r^{2} v^{2}}{2}+C$$
答案
$$$\int 13 \pi h r^{2} v\, dv = \frac{13 \pi h r^{2} v^{2}}{2} + C$$$A