$$$t e^{t}$$$ 的積分

求$$$\int t e^{t}\, dt$$$。

對於積分 $$$\int{t e^{t} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=t$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$${\color{red}{\int{t e^{t} d t}}}={\color{red}{\left(t \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot 1 d t}\right)}}={\color{red}{\left(t e^{t} - \int{e^{t} d t}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{t} d t} = e^{t}$$$：

$$t e^{t} - {\color{red}{\int{e^{t} d t}}} = t e^{t} - {\color{red}{e^{t}}}$$

因此，

$$\int{t e^{t} d t} = t e^{t} - e^{t}$$

化簡：

$$\int{t e^{t} d t} = \left(t - 1\right) e^{t}$$

加上積分常數：

$$\int{t e^{t} d t} = \left(t - 1\right) e^{t}+C$$

$$$\int t e^{t}\, dt = \left(t - 1\right) e^{t} + C$$$A