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$$$a^{2} t - x^{2}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \left(a^{2} t - x^{2}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(a^{2} t - x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{x^{2} d x} + \int{a^{2} t d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$\int{a^{2} t d x} - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\int{a^{2} t d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\int{a^{2} t d x} - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
配合 $$$c=a^{2} t$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：
$$- \frac{x^{3}}{3} + {\color{red}{\int{a^{2} t d x}}} = - \frac{x^{3}}{3} + {\color{red}{a^{2} t x}}$$
因此，
$$\int{\left(a^{2} t - x^{2}\right)d x} = a^{2} t x - \frac{x^{3}}{3}$$
化簡：
$$\int{\left(a^{2} t - x^{2}\right)d x} = x \left(a^{2} t - \frac{x^{2}}{3}\right)$$
加上積分常數：
$$\int{\left(a^{2} t - x^{2}\right)d x} = x \left(a^{2} t - \frac{x^{2}}{3}\right)+C$$
答案
$$$\int \left(a^{2} t - x^{2}\right)\, dx = x \left(a^{2} t - \frac{x^{2}}{3}\right) + C$$$A