$$$\sqrt{3 x + 6}$$$ 的積分
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求$$$\int \sqrt{3 x + 6}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=3 x + 6$$$。
則 $$$du=\left(3 x + 6\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{3}$$$。
所以，
$${\color{red}{\int{\sqrt{3 x + 6} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u}}{3} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sqrt{u} d u}}{3}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{1}{2}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{3}$$
回顧一下 $$$u=3 x + 6$$$：
$$\frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{9} = \frac{2 {\color{red}{\left(3 x + 6\right)}}^{\frac{3}{2}}}{9}$$
因此，
$$\int{\sqrt{3 x + 6} d x} = \frac{2 \left(3 x + 6\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$$
化簡：
$$\int{\sqrt{3 x + 6} d x} = \frac{2 \sqrt{3} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
加上積分常數：
$$\int{\sqrt{3 x + 6} d x} = \frac{2 \sqrt{3} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$
答案
$$$\int \sqrt{3 x + 6}\, dx = \frac{2 \sqrt{3} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A