$$$\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}$$$ 對 $$$y$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}\, dy$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(y \right)} = \sin{\left(\pi n y \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(\pi n y \right)} d y}}{2}\right)}}$$

令 $$$u=\pi n y$$$。

則 $$$du=\left(\pi n y\right)^{\prime }dy = \pi n dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = \frac{du}{\pi n}$$$。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(\pi n y \right)} d y}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{\pi n}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi n}}}}{2}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2 \pi n} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2 \pi n}$$

回顧一下 $$$u=\pi n y$$$：

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \pi n} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\pi n y}} \right)}}{2 \pi n}$$

因此，

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y} = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y} = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}\, dy = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n} + C$$$A