$$$\sin{\left(n x \right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \sin{\left(n x \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=n x$$$。

則 $$$du=\left(n x\right)^{\prime }dx = n dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{n}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\sin{\left(n x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{n} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{n}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{n} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{n}}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{n} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{n}$$

回顧一下 $$$u=n x$$$：

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{n} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{n x}} \right)}}{n}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(n x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(n x \right)}}{n}$$

加上積分常數：

$$\int{\sin{\left(n x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(n x \right)}}{n}+C$$

$$$\int \sin{\left(n x \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(n x \right)}}{n} + C$$$A