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$$$\sin{\left(5 x \right)}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \sin{\left(5 x \right)}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=5 x$$$。
則 $$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{5}$$$。
因此，
$${\color{red}{\int{\sin{\left(5 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{5} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{5}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{5}\right)}}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{5}$$
回顧一下 $$$u=5 x$$$：
$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{5} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(5 x\right)}} \right)}}{5}$$
因此，
$$\int{\sin{\left(5 x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$$
加上積分常數：
$$\int{\sin{\left(5 x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}+C$$
答案
$$$\int \sin{\left(5 x \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5} + C$$$A