$$$\sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)}\, du$$$。

令 $$$v=\frac{3 u}{5}$$$。

則 $$$dv=\left(\frac{3 u}{5}\right)^{\prime }du = \frac{3 du}{5}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = \frac{5 dv}{3}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{5 \sin{\left(v \right)}}{3} d v}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{5}{3}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \sin{\left(v \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{5 \sin{\left(v \right)}}{3} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{5 \int{\sin{\left(v \right)} d v}}{3}\right)}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(v \right)} d v} = - \cos{\left(v \right)}$$$：

$$\frac{5 {\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}}}{3} = \frac{5 {\color{red}{\left(- \cos{\left(v \right)}\right)}}}{3}$$

回顧一下 $$$v=\frac{3 u}{5}$$$：

$$- \frac{5 \cos{\left({\color{red}{v}} \right)}}{3} = - \frac{5 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{3 u}{5}\right)}} \right)}}{3}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)} d u} = - \frac{5 \cos{\left(\frac{3 u}{5} \right)}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{\sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)} d u} = - \frac{5 \cos{\left(\frac{3 u}{5} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{3 u}{5} \right)}\, du = - \frac{5 \cos{\left(\frac{3 u}{5} \right)}}{3} + C$$$A