$$$\sec^{2}{\left(2 x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \sec^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ 的積分是 $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$\frac{\tan{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\tan{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\sec^{2}{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\sec^{2}{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sec^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A