$$$\pi \left(- x^{2} + 2 x\right)$$$ 的積分
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求$$$\int \pi \left(- x^{2} + 2 x\right)\, dx$$$。
解答
簡化被積函數:
$${\color{red}{\int{\pi \left(- x^{2} + 2 x\right) d x}}} = {\color{red}{\int{\pi x \left(2 - x\right) d x}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\pi$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x \left(2 - x\right)$$$：
$${\color{red}{\int{\pi x \left(2 - x\right) d x}}} = {\color{red}{\pi \int{x \left(2 - x\right) d x}}}$$
Expand the expression:
$$\pi {\color{red}{\int{x \left(2 - x\right) d x}}} = \pi {\color{red}{\int{\left(- x^{2} + 2 x\right)d x}}}$$
逐項積分：
$$\pi {\color{red}{\int{\left(- x^{2} + 2 x\right)d x}}} = \pi {\color{red}{\left(\int{2 x d x} - \int{x^{2} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$\pi \left(\int{2 x d x} - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}\right)=\pi \left(\int{2 x d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}\right)=\pi \left(\int{2 x d x} - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}\right)$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：
$$\pi \left(- \frac{x^{3}}{3} + {\color{red}{\int{2 x d x}}}\right) = \pi \left(- \frac{x^{3}}{3} + {\color{red}{\left(2 \int{x d x}\right)}}\right)$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$\pi \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 {\color{red}{\int{x d x}}}\right)=\pi \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}\right)=\pi \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}\right)$$
因此，
$$\int{\pi \left(- x^{2} + 2 x\right) d x} = \pi \left(- \frac{x^{3}}{3} + x^{2}\right)$$
化簡：
$$\int{\pi \left(- x^{2} + 2 x\right) d x} = \frac{\pi x^{2} \left(3 - x\right)}{3}$$
加上積分常數：
$$\int{\pi \left(- x^{2} + 2 x\right) d x} = \frac{\pi x^{2} \left(3 - x\right)}{3}+C$$
答案
$$$\int \pi \left(- x^{2} + 2 x\right)\, dx = \frac{\pi x^{2} \left(3 - x\right)}{3} + C$$$A