$$$m^{2} - n^{2}$$$ 對 $$$m$$$ 的積分
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求$$$\int \left(m^{2} - n^{2}\right)\, dm$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(m^{2} - n^{2}\right)d m}}} = {\color{red}{\left(\int{m^{2} d m} - \int{n^{2} d m}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int m^{n}\, dm = \frac{m^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$- \int{n^{2} d m} + {\color{red}{\int{m^{2} d m}}}=- \int{n^{2} d m} + {\color{red}{\frac{m^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \int{n^{2} d m} + {\color{red}{\left(\frac{m^{3}}{3}\right)}}$$
配合 $$$c=n^{2}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dm = c m$$$：
$$\frac{m^{3}}{3} - {\color{red}{\int{n^{2} d m}}} = \frac{m^{3}}{3} - {\color{red}{m n^{2}}}$$
因此，
$$\int{\left(m^{2} - n^{2}\right)d m} = \frac{m^{3}}{3} - m n^{2}$$
化簡：
$$\int{\left(m^{2} - n^{2}\right)d m} = m \left(\frac{m^{2}}{3} - n^{2}\right)$$
加上積分常數：
$$\int{\left(m^{2} - n^{2}\right)d m} = m \left(\frac{m^{2}}{3} - n^{2}\right)+C$$
答案
$$$\int \left(m^{2} - n^{2}\right)\, dm = m \left(\frac{m^{2}}{3} - n^{2}\right) + C$$$A