$$$\ln\left(n\right)$$$ 的積分

求$$$\int \ln\left(n\right)\, dn$$$。

對於積分 $$$\int{\ln{\left(n \right)} d n}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(n \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=dn$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(n \right)}\right)^{\prime }dn=\frac{dn}{n}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d n}=n$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{\ln{\left(n \right)} d n}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(n \right)} \cdot n-\int{n \cdot \frac{1}{n} d n}\right)}}={\color{red}{\left(n \ln{\left(n \right)} - \int{1 d n}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dn = c n$$$：

$$n \ln{\left(n \right)} - {\color{red}{\int{1 d n}}} = n \ln{\left(n \right)} - {\color{red}{n}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \ln{\left(n \right)} - n$$

化簡：

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \left(\ln{\left(n \right)} - 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \left(\ln{\left(n \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(n\right)\, dn = n \left(\ln\left(n\right) - 1\right) + C$$$A