$$$\ln\left(1 - x\right)$$$ 的積分

求$$$\int \ln\left(1 - x\right)\, dx$$$。

令 $$$u=1 - x$$$。

則 $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$。

令 $$$\operatorname{\mu}=\ln{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\mu}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$$- {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$$- u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{u}}$$

回顧一下 $$$u=1 - x$$$：

$${\color{red}{u}} - {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = {\color{red}{\left(1 - x\right)}} - {\color{red}{\left(1 - x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(1 - x\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = - x - \left(1 - x\right) \ln{\left(1 - x \right)} + 1$$

化簡：

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \left(\ln{\left(1 - x \right)} - 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \left(\ln{\left(1 - x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(1 - x\right)\, dx = \left(x - 1\right) \left(\ln\left(1 - x\right) - 1\right) + C$$$A