$$$\frac{\sqrt{x y}}{x^{2} y^{2}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \frac{\sqrt{x y}}{x^{2} y^{2}}\, dx$$$。
解答
已將輸入重寫為：$$$\int{\frac{\sqrt{x y}}{x^{2} y^{2}} d x}=\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}} d x}$$$。
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{y^{\frac{3}{2}}}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x}}{y^{\frac{3}{2}}}}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=- \frac{3}{2}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x}}}}{y^{\frac{3}{2}}}=\frac{{\color{red}{\int{x^{- \frac{3}{2}} d x}}}}{y^{\frac{3}{2}}}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{- \frac{3}{2} + 1}}{- \frac{3}{2} + 1}}}}{y^{\frac{3}{2}}}=\frac{{\color{red}{\left(- 2 x^{- \frac{1}{2}}\right)}}}{y^{\frac{3}{2}}}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{2}{\sqrt{x}}\right)}}}{y^{\frac{3}{2}}}$$
因此，
$$\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{2}{\sqrt{x} y^{\frac{3}{2}}}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{2}{\sqrt{x} y^{\frac{3}{2}}}+C$$
答案
$$$\int \frac{\sqrt{x y}}{x^{2} y^{2}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x} y^{\frac{3}{2}}} + C$$$A