$$$e^{x y}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int e^{x y}\, dx$$$。

令 $$$u=x y$$$。

則 $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{y}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{y}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{y}}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

回顧一下 $$$u=x y$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = \frac{e^{{\color{red}{x y}}}}{y}$$

因此，

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{x y} d x} = \frac{e^{x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{x y}\, dx = \frac{e^{x y}}{y} + C$$$A