$$$e^{\frac{u}{2}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du$$$。

令 $$$v=\frac{u}{2}$$$。

則 $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = 2 dv$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = 2 {\color{red}{e^{v}}}$$

回顧一下 $$$v=\frac{u}{2}$$$：

$$2 e^{{\color{red}{v}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} + C$$$A