$$$e^{4 u}$$$ 的積分

求$$$\int e^{4 u}\, du$$$。

令 $$$v=4 u$$$。

則 $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = \frac{dv}{4}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{4 u} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{4}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{v} d v}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{v}}}}{4}$$

回顧一下 $$$v=4 u$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{v}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 u\right)}}}}{4}$$

因此，

$$\int{e^{4 u} d u} = \frac{e^{4 u}}{4}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{4 u} d u} = \frac{e^{4 u}}{4}+C$$

$$$\int e^{4 u}\, du = \frac{e^{4 u}}{4} + C$$$A