$$$e^{2 x}$$$ 的積分

求$$$\int e^{2 x}\, dx$$$。

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{2 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} = \frac{e^{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}}{2}$$

因此，

$$\int{e^{2 x} d x} = \frac{e^{2 x}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{2 x} d x} = \frac{e^{2 x}}{2}+C$$

$$$\int e^{2 x}\, dx = \frac{e^{2 x}}{2} + C$$$A