$$$e^{- \frac{y}{4}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- \frac{y}{4}}\, dy$$$。

令 $$$u=- \frac{y}{4}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{y}{4}\right)^{\prime }dy = - \frac{dy}{4}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = - 4 du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{y}{4}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 4 e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-4$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 4 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 4 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 4 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 4 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{y}{4}$$$：

$$- 4 e^{{\color{red}{u}}} = - 4 e^{{\color{red}{\left(- \frac{y}{4}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{y}{4}} d y} = - 4 e^{- \frac{y}{4}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- \frac{y}{4}} d y} = - 4 e^{- \frac{y}{4}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{y}{4}}\, dy = - 4 e^{- \frac{y}{4}} + C$$$A