$$$e^{- \frac{x}{3}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- \frac{x}{3}}\, dx$$$。

令 $$$u=- \frac{x}{3}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{3}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - 3 du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 3 e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-3$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 3 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 3 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 3 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{x}{3}$$$：

$$- 3 e^{{\color{red}{u}}} = - 3 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{3}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{x}{3}} d x} = - 3 e^{- \frac{x}{3}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- \frac{x}{3}} d x} = - 3 e^{- \frac{x}{3}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{3}}\, dx = - 3 e^{- \frac{x}{3}} + C$$$A