$$$e^{- \frac{6 x}{5}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- \frac{6 x}{5}}\, dx$$$。

令 $$$u=- \frac{6 x}{5}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{6 x}{5}\right)^{\prime }dx = - \frac{6 dx}{5}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - \frac{5 du}{6}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{u}}{6}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{5}{6}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{5 e^{u}}{6}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{5 \int{e^{u} d u}}{6}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{5 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{6} = - \frac{5 {\color{red}{e^{u}}}}{6}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{6 x}{5}$$$：

$$- \frac{5 e^{{\color{red}{u}}}}{6} = - \frac{5 e^{{\color{red}{\left(- \frac{6 x}{5}\right)}}}}{6}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x} = - \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- \frac{6 x}{5}} d x} = - \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6}+C$$

$$$\int e^{- \frac{6 x}{5}}\, dx = - \frac{5 e^{- \frac{6 x}{5}}}{6} + C$$$A