$$$e^{- 6 w}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- 6 w}\, dw$$$。

令 $$$u=- 6 w$$$。

則 $$$du=\left(- 6 w\right)^{\prime }dw = - 6 dw$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dw = - \frac{du}{6}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{- 6 w} d w}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{6}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{6}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{6}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{6}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{6} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{6}$$

回顧一下 $$$u=- 6 w$$$：

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{6} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 6 w\right)}}}}{6}$$

因此，

$$\int{e^{- 6 w} d w} = - \frac{e^{- 6 w}}{6}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- 6 w} d w} = - \frac{e^{- 6 w}}{6}+C$$

$$$\int e^{- 6 w}\, dw = - \frac{e^{- 6 w}}{6} + C$$$A