$$$e^{- \frac{3 x}{4}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- \frac{3 x}{4}}\, dx$$$。

令 $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{3 x}{4}\right)^{\prime }dx = - \frac{3 dx}{4}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - \frac{4 du}{3}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{4}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{4 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = - \frac{4 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$：

$$- \frac{4 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = - \frac{4 e^{{\color{red}{\left(- \frac{3 x}{4}\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x} = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x} = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}+C$$

$$$\int e^{- \frac{3 x}{4}}\, dx = - \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + C$$$A