$$$\cos{\left(\frac{t}{a} \right)}$$$ 對 $$$t$$$ 的積分

求$$$\int \cos{\left(\frac{t}{a} \right)}\, dt$$$。

令 $$$u=\frac{t}{a}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{t}{a}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{a}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = a du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{a \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=a$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{a \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{a \int{\cos{\left(u \right)} d u}}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$a {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = a {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{t}{a}$$$：

$$a \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = a \sin{\left({\color{red}{\frac{t}{a}}} \right)}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t} = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\cos{\left(\frac{t}{a} \right)} d t} = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{t}{a} \right)}\, dt = a \sin{\left(\frac{t}{a} \right)} + C$$$A