$$$\cos{\left(x e^{3} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \cos{\left(x e^{3} \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=x e^{3}$$$。

則 $$$du=\left(x e^{3}\right)^{\prime }dx = e^{3} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{e^{3}}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{e^{3}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=e^{-3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{e^{3}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{e^{3}}}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{e^{3}} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{e^{3}}$$

回顧一下 $$$u=x e^{3}$$$：

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{e^{3}} = \frac{\sin{\left({\color{red}{x e^{3}}} \right)}}{e^{3}}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}}$$

加上積分常數：

$$\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}}+C$$

$$$\int \cos{\left(x e^{3} \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}} + C$$$A