$$$\cos{\left(\pi n x \right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \cos{\left(\pi n x \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=\pi n x$$$。

則 $$$du=\left(\pi n x\right)^{\prime }dx = \pi n dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{\pi n}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\pi n x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{\pi n}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{\pi n}}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{\pi n} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{\pi n}$$

回顧一下 $$$u=\pi n x$$$：

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{\pi n} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\pi n x}} \right)}}{\pi n}$$

因此，

$$\int{\cos{\left(\pi n x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n}$$

加上積分常數：

$$\int{\cos{\left(\pi n x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n}+C$$

$$$\int \cos{\left(\pi n x \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(\pi n x \right)}}{\pi n} + C$$$A