$$$8 \cos^{3}{\left(4 x \right)}$$$ 的積分
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求$$$\int 8 \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=8$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(4 x \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{8 \cos^{3}{\left(4 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(8 \int{\cos^{3}{\left(4 x \right)} d x}\right)}}$$
令 $$$u=4 x$$$。
則 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{4}$$$。
該積分可改寫為
$$8 {\color{red}{\int{\cos^{3}{\left(4 x \right)} d x}}} = 8 {\color{red}{\int{\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{4} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos^{3}{\left(u \right)}$$$：
$$8 {\color{red}{\int{\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{4} d u}}} = 8 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{3}{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}$$
先提出一個餘弦，並將其餘部分以正弦表示，使用公式 $$$\cos^2\left(\alpha \right)=-\sin^2\left(\alpha \right)+1$$$，令 $$$\alpha= u $$$:
$$2 {\color{red}{\int{\cos^{3}{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)} d u}}}$$
令 $$$v=\sin{\left(u \right)}$$$。
則 $$$dv=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\cos{\left(u \right)} du = dv$$$。
該積分變為
$$2 {\color{red}{\int{\left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(1 - v^{2}\right)d v}}}$$
逐項積分：
$$2 {\color{red}{\int{\left(1 - v^{2}\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{v^{2} d v}\right)}}$$
配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dv = c v$$$：
$$- 2 \int{v^{2} d v} + 2 {\color{red}{\int{1 d v}}} = - 2 \int{v^{2} d v} + 2 {\color{red}{v}}$$
套用冪次法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$2 v - 2 {\color{red}{\int{v^{2} d v}}}=2 v - 2 {\color{red}{\frac{v^{1 + 2}}{1 + 2}}}=2 v - 2 {\color{red}{\left(\frac{v^{3}}{3}\right)}}$$
回顧一下 $$$v=\sin{\left(u \right)}$$$：
$$2 {\color{red}{v}} - \frac{2 {\color{red}{v}}^{3}}{3} = 2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}} - \frac{2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}^{3}}{3}$$
回顧一下 $$$u=4 x$$$：
$$2 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = 2 \sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{3}$$
因此，
$$\int{8 \cos^{3}{\left(4 x \right)} d x} = - \frac{2 \sin^{3}{\left(4 x \right)}}{3} + 2 \sin{\left(4 x \right)}$$
化簡：
$$\int{8 \cos^{3}{\left(4 x \right)} d x} = \frac{9 \sin{\left(4 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{6}$$
加上積分常數：
$$\int{8 \cos^{3}{\left(4 x \right)} d x} = \frac{9 \sin{\left(4 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{6}+C$$
答案
$$$\int 8 \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx = \frac{9 \sin{\left(4 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{6} + C$$$A