$$$5 \ln\left(t^{2}\right)$$$ 的積分

求$$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt$$$。

已將輸入重寫為：$$$\int{5 \ln{\left(t^{2} \right)} d t}=\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=10$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = \ln{\left(t \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(10 \int{\ln{\left(t \right)} d t}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(t \right)} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(t \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\frac{dt}{t}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d t}=t$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$10 {\color{red}{\int{\ln{\left(t \right)} d t}}}=10 {\color{red}{\left(\ln{\left(t \right)} \cdot t-\int{t \cdot \frac{1}{t} d t}\right)}}=10 {\color{red}{\left(t \ln{\left(t \right)} - \int{1 d t}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dt = c t$$$：

$$10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{\int{1 d t}}} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{t}}$$

因此，

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 t$$

化簡：

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt = 10 t \left(\ln\left(t\right) - 1\right) + C$$$A