$$$3 x \cos{\left(2 x^{2} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int 3 x \cos{\left(2 x^{2} \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=2 x^{2}$$$。

則 $$$du=\left(2 x^{2}\right)^{\prime }dx = 4 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = \frac{du}{4}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{3 x \cos{\left(2 x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 \cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{3}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{3 \cos{\left(u \right)}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{3 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{3 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

回顧一下 $$$u=2 x^{2}$$$：

$$\frac{3 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{3 \sin{\left({\color{red}{\left(2 x^{2}\right)}} \right)}}{4}$$

因此，

$$\int{3 x \cos{\left(2 x^{2} \right)} d x} = \frac{3 \sin{\left(2 x^{2} \right)}}{4}$$

加上積分常數：

$$\int{3 x \cos{\left(2 x^{2} \right)} d x} = \frac{3 \sin{\left(2 x^{2} \right)}}{4}+C$$

$$$\int 3 x \cos{\left(2 x^{2} \right)}\, dx = \frac{3 \sin{\left(2 x^{2} \right)}}{4} + C$$$A