$$$37000 e^{- \frac{9 t}{100}}$$$ 的積分

求$$$\int 37000 e^{- \frac{9 t}{100}}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=37000$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{- \frac{9 t}{100}}$$$：

$${\color{red}{\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t}}} = {\color{red}{\left(37000 \int{e^{- \frac{9 t}{100}} d t}\right)}}$$

令 $$$u=- \frac{9 t}{100}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{9 t}{100}\right)^{\prime }dt = - \frac{9 dt}{100}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = - \frac{100 du}{9}$$$。

該積分變為

$$37000 {\color{red}{\int{e^{- \frac{9 t}{100}} d t}}} = 37000 {\color{red}{\int{\left(- \frac{100 e^{u}}{9}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{100}{9}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$37000 {\color{red}{\int{\left(- \frac{100 e^{u}}{9}\right)d u}}} = 37000 {\color{red}{\left(- \frac{100 \int{e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{3700000 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = - \frac{3700000 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{9 t}{100}$$$：

$$- \frac{3700000 e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{3700000 e^{{\color{red}{\left(- \frac{9 t}{100}\right)}}}}{9}$$

因此，

$$\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t} = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9}$$

加上積分常數：

$$\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t} = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9}+C$$

$$$\int 37000 e^{- \frac{9 t}{100}}\, dt = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9} + C$$$A