$$$2 \sin{\left(2 t \right)}$$$ 的積分

求$$$\int 2 \sin{\left(2 t \right)}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{2 \sin{\left(2 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sin{\left(2 t \right)} d t}\right)}}$$

令 $$$u=2 t$$$。

則 $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$$2 {\color{red}{\int{\sin{\left(2 t \right)} d t}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=2 t$$$：

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{2 \sin{\left(2 t \right)} d t} = - \cos{\left(2 t \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{2 \sin{\left(2 t \right)} d t} = - \cos{\left(2 t \right)}+C$$

$$$\int 2 \sin{\left(2 t \right)}\, dt = - \cos{\left(2 t \right)} + C$$$A