$$$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{1}{x}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}\right)}}$$

令 $$$u=\sin{\left(v \right)}$$$。

則 $$$du=\left(\sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cos{\left(v \right)} dv$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$。

所以，

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

使用恆等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

假設 $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( v \right)}}$$$

積分可以改寫為

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}}} = - {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dv = c v$$$：

$$- {\color{red}{\int{1 d v}}} = - {\color{red}{v}}$$

回顧一下 $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$：

$$- {\color{red}{v}} = - {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{1}{x}$$$：

$$- \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + C$$$A