$$$\frac{1}{\sqrt[3]{x} + x}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x} + x}\, dx$$$。

令 $$$u=\sqrt[3]{x}$$$。

則 $$$du=\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{\frac{2}{3}}} = 3 du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x} + x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 u}{u^{2} + 1} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{u}{u^{2} + 1}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{3 u}{u^{2} + 1} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

令 $$$v=u^{2} + 1$$$。

則 $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$u du = \frac{dv}{2}$$$。

該積分變為

$$3 {\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}}} = 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$：

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}} = 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$\frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$v=u^{2} + 1$$$：

$$\frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

回顧一下 $$$u=\sqrt[3]{x}$$$：

$$\frac{3 \ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)}}{2} = \frac{3 \ln{\left(1 + {\color{red}{\sqrt[3]{x}}}^{2} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x} + x} d x} = \frac{3 \ln{\left(x^{\frac{2}{3}} + 1 \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x} + x} d x} = \frac{3 \ln{\left(x^{\frac{2}{3}} + 1 \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x} + x}\, dx = \frac{3 \ln\left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)}{2} + C$$$A