$$$\frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{1}{x}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}} d u}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{\cosh{\left(v \right)}}{5}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{\cosh{\left(v \right)}}{5}\right)^{\prime }dv = \frac{\sinh{\left(v \right)}}{5} dv$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(5 u \right)}$$$。

被積函數變為

$$$\frac{1}{\sqrt{25 u ^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}$$$

使用恆等式 $$$\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}$$$

假設 $$$\sinh{\left( v \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( v \right)}}$$$

積分可以改寫為

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}} d u}}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{5} d v}}}$$

配合 $$$c=\frac{1}{5}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dv = c v$$$：

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{5} d v}}} = - {\color{red}{\left(\frac{v}{5}\right)}}$$

回顧一下 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(5 u \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{v}}}{5} = - \frac{{\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(5 u \right)}}}}{5}$$

回顧一下 $$$u=\frac{1}{x}$$$：

$$- \frac{\operatorname{acosh}{\left(5 {\color{red}{u}} \right)}}{5} = - \frac{\operatorname{acosh}{\left(5 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}}{5}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} d x} = - \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{5}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} d x} = - \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{5}+C$$

$$$\int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}}\, dx = - \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{5} + C$$$A