$$$\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$。

使用倍角公式 $$$\cos\left(x\right)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1$$$ 將餘弦改寫並化簡:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

令 $$$u=\frac{x}{2}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 2 du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

將被積函數以正割表示:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ 的積分是 $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{2}$$$：

$$\tan{\left({\color{red}{u}} \right)} = \tan{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} d x} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} d x} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A