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$$$-6 + \frac{1}{t^{3}}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)\, dt$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{6 d t} + \int{\frac{1}{t^{3}} d t}\right)}}$$
配合 $$$c=6$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dt = c t$$$：
$$\int{\frac{1}{t^{3}} d t} - {\color{red}{\int{6 d t}}} = \int{\frac{1}{t^{3}} d t} - {\color{red}{\left(6 t\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-3$$$：
$$- 6 t + {\color{red}{\int{\frac{1}{t^{3}} d t}}}=- 6 t + {\color{red}{\int{t^{-3} d t}}}=- 6 t + {\color{red}{\frac{t^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}=- 6 t + {\color{red}{\left(- \frac{t^{-2}}{2}\right)}}=- 6 t + {\color{red}{\left(- \frac{1}{2 t^{2}}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)d t} = - 6 t - \frac{1}{2 t^{2}}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)d t} = - 6 t - \frac{1}{2 t^{2}}+C$$
答案
$$$\int \left(-6 + \frac{1}{t^{3}}\right)\, dt = \left(- 6 t - \frac{1}{2 t^{2}}\right) + C$$$A