$$$y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}$$$ 的積分
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求$$$\int y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}\, dy$$$。
解答
令 $$$u=y^{2}$$$。
則 $$$du=\left(y^{2}\right)^{\prime }dy = 2 y dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$y dy = \frac{du}{2}$$$。
該積分可改寫為
$${\color{red}{\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u e^{\frac{u}{2}}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}}{2}\right)}}$$
對於積分 $$$\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$。
令 $$$\operatorname{\mu}=u$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{\frac{u}{2}} du$$$。
則 $$$\operatorname{d\mu}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{\frac{u}{2}} d u}=2 e^{\frac{u}{2}}$$$（步驟見 »）。
因此，
$$\frac{{\color{red}{\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot 2 e^{\frac{u}{2}}-\int{2 e^{\frac{u}{2}} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(2 u e^{\frac{u}{2}} - \int{2 e^{\frac{u}{2}} d u}\right)}}}{2}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$$$：
$$u e^{\frac{u}{2}} - \frac{{\color{red}{\int{2 e^{\frac{u}{2}} d u}}}}{2} = u e^{\frac{u}{2}} - \frac{{\color{red}{\left(2 \int{e^{\frac{u}{2}} d u}\right)}}}{2}$$
令 $$$v=\frac{u}{2}$$$。
則 $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = 2 dv$$$。
該積分可改寫為
$$u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$：
$$u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$
指數函數的積分為 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：
$$u e^{\frac{u}{2}} - 2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - 2 {\color{red}{e^{v}}}$$
回顧一下 $$$v=\frac{u}{2}$$$：
$$u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{{\color{red}{v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$
回顧一下 $$$u=y^{2}$$$：
$$- 2 e^{\frac{{\color{red}{u}}}{2}} + {\color{red}{u}} e^{\frac{{\color{red}{u}}}{2}} = - 2 e^{\frac{{\color{red}{y^{2}}}}{2}} + {\color{red}{y^{2}}} e^{\frac{{\color{red}{y^{2}}}}{2}}$$
因此，
$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = y^{2} e^{\frac{y^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{y^{2}}{2}}$$
化簡：
$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}}$$
加上積分常數：
$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}}+C$$
答案
$$$\int y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}\, dy = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}} + C$$$A