$$$x y^{3}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int x y^{3}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=y^{3}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：

$${\color{red}{\int{x y^{3} d x}}} = {\color{red}{y^{3} \int{x d x}}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$y^{3} {\color{red}{\int{x d x}}}=y^{3} {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=y^{3} {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

因此，

$$\int{x y^{3} d x} = \frac{x^{2} y^{3}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{x y^{3} d x} = \frac{x^{2} y^{3}}{2}+C$$

$$$\int x y^{3}\, dx = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + C$$$A