$$$\frac{y^{2}}{4} - 1$$$ 的積分

求$$$\int \left(\frac{y^{2}}{4} - 1\right)\, dy$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(\frac{y^{2}}{4} - 1\right)d y}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d y} + \int{\frac{y^{2}}{4} d y}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dy = c y$$$：

$$\int{\frac{y^{2}}{4} d y} - {\color{red}{\int{1 d y}}} = \int{\frac{y^{2}}{4} d y} - {\color{red}{y}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(y \right)} = y^{2}$$$：

$$- y + {\color{red}{\int{\frac{y^{2}}{4} d y}}} = - y + {\color{red}{\left(\frac{\int{y^{2} d y}}{4}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$- y + \frac{{\color{red}{\int{y^{2} d y}}}}{4}=- y + \frac{{\color{red}{\frac{y^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{4}=- y + \frac{{\color{red}{\left(\frac{y^{3}}{3}\right)}}}{4}$$

因此，

$$\int{\left(\frac{y^{2}}{4} - 1\right)d y} = \frac{y^{3}}{12} - y$$

加上積分常數：

$$\int{\left(\frac{y^{2}}{4} - 1\right)d y} = \frac{y^{3}}{12} - y+C$$

$$$\int \left(\frac{y^{2}}{4} - 1\right)\, dy = \left(\frac{y^{3}}{12} - y\right) + C$$$A