$$$x - 2 - \frac{2}{x^{2}}$$$ 的積分

求$$$\int \left(x - 2 - \frac{2}{x^{2}}\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(x - 2 - \frac{2}{x^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{2 d x} - \int{\frac{2}{x^{2}} d x} + \int{x d x}\right)}}$$

配合 $$$c=2$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$- \int{\frac{2}{x^{2}} d x} + \int{x d x} - {\color{red}{\int{2 d x}}} = - \int{\frac{2}{x^{2}} d x} + \int{x d x} - {\color{red}{\left(2 x\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$- 2 x - \int{\frac{2}{x^{2}} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- 2 x - \int{\frac{2}{x^{2}} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- 2 x - \int{\frac{2}{x^{2}} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$$：

$$\frac{x^{2}}{2} - 2 x - {\color{red}{\int{\frac{2}{x^{2}} d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - 2 x - {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{x^{2}} d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-2$$$：

$$\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2}} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 2 {\color{red}{\int{x^{-2} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 2 {\color{red}{\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 2 {\color{red}{\left(- x^{-1}\right)}}=\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 2 {\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(x - 2 - \frac{2}{x^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{2}{x}$$

化簡：

$$\int{\left(x - 2 - \frac{2}{x^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2} \left(x - 4\right) + 4}{2 x}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(x - 2 - \frac{2}{x^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2} \left(x - 4\right) + 4}{2 x}+C$$

$$$\int \left(x - 2 - \frac{2}{x^{2}}\right)\, dx = \frac{x^{2} \left(x - 4\right) + 4}{2 x} + C$$$A