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$$$- 3 x^{2} + \frac{1}{x}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \left(- 3 x^{2} + \frac{1}{x}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- 3 x^{2} + \frac{1}{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{x} d x} - \int{3 x^{2} d x}\right)}}$$
$$$\frac{1}{x}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$：
$$- \int{3 x^{2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = - \int{3 x^{2} d x} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$：
$$\ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - {\color{red}{\int{3 x^{2} d x}}} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$\ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 3 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(- 3 x^{2} + \frac{1}{x}\right)d x} = - x^{3} + \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- 3 x^{2} + \frac{1}{x}\right)d x} = - x^{3} + \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$
答案
$$$\int \left(- 3 x^{2} + \frac{1}{x}\right)\, dx = \left(- x^{3} + \ln\left(\left|{x}\right|\right)\right) + C$$$A