$$$x^{n} \left(1 - x\right)$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
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求$$$\int x^{n} \left(1 - x\right)\, dx$$$。
解答
此積分沒有閉式表示:
$${\color{red}{\int{x^{n} \left(1 - x\right) d x}}} = {\color{red}{\frac{x^{n + 1} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} -1, n + 1 \\ n + 2 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{n + 1}}}$$
因此，
$$\int{x^{n} \left(1 - x\right) d x} = \frac{x^{n + 1} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} -1, n + 1 \\ n + 2 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{n + 1}$$
化簡：
$$\int{x^{n} \left(1 - x\right) d x} = \frac{x^{n + 1} \left(n - x \left(n + 1\right) + 2\right)}{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$
加上積分常數：
$$\int{x^{n} \left(1 - x\right) d x} = \frac{x^{n + 1} \left(n - x \left(n + 1\right) + 2\right)}{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}+C$$
答案
$$$\int x^{n} \left(1 - x\right)\, dx = \frac{x^{n + 1} \left(n - x \left(n + 1\right) + 2\right)}{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)} + C$$$A