$$$x^{5} e^{- x^{2}}$$$ 的積分

求$$$\int x^{5} e^{- x^{2}}\, dx$$$。

令 $$$u=- x^{2}$$$。

則 $$$du=\left(- x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = - \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{x^{5} e^{- x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{2} e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u^{2} e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{2} e^{u}}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{u^{2} e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{u^{2} e^{u} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

令 $$$\operatorname{g}=u^{2}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。

則 $$$\operatorname{dg}=\left(u^{2}\right)^{\prime }du=2 u du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$- \frac{{\color{red}{\int{u^{2} e^{u} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(u^{2} \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 2 u d u}\right)}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(u^{2} e^{u} - \int{2 u e^{u} d u}\right)}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$：

$$- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}}}{2} = - \frac{u^{2} e^{u}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(2 \int{u e^{u} d u}\right)}}}{2}$$

對於積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

令 $$$\operatorname{g}=u$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$。

則 $$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（步驟見 »）。

所以，

$$- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + u e^{u} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - \frac{u^{2} e^{u}}{2} + u e^{u} - {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- x^{2}$$$：

$$- e^{{\color{red}{u}}} + {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} - \frac{{\color{red}{u}}^{2} e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - e^{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}} + {\color{red}{\left(- x^{2}\right)}} e^{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}} - \frac{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}^{2} e^{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}}}{2}$$

因此，

$$\int{x^{5} e^{- x^{2}} d x} = - \frac{x^{4} e^{- x^{2}}}{2} - x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}}$$

化簡：

$$\int{x^{5} e^{- x^{2}} d x} = \left(- \frac{x^{4}}{2} - x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{x^{5} e^{- x^{2}} d x} = \left(- \frac{x^{4}}{2} - x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}}+C$$

$$$\int x^{5} e^{- x^{2}}\, dx = \left(- \frac{x^{4}}{2} - x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}} + C$$$A